Niveau 3 · 6e – 5e
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Imagine ton sac après une chasse au trésor : 5 pièces d'or, 3 rubis, encore 2 pièces d'or, 1 rubis. Pour t'y retrouver, tu ranges par famille : 7 pièces d'or et 4 rubis. Réduire une expression littérale, c'est exactement ce tri : dans 5x + 3 + 2x + 1, les termes en x vont ensemble (5x + 2x = 7x) et les nombres seuls vont ensemble (3 + 1 = 4). Résultat : 7x + 4.
La règle d'or : on ne peut regrouper que des termes de la même famille. 5x + 2x = 7x, c'est 5 paquets de x plus 2 paquets de x. Mais 3x + 5 ne se réduit pas : 3 paquets de x et 5 unités, ce sont des objets différents, comme des pommes et des poires. L'expression reste 3x + 5, et c'est très bien comme ça.
Deuxième outil du cours : la factorisation par un facteur commun. C'est la distributivité lue à l'envers. Tu sais que 4 × (3x + 2) = 12x + 8. Factoriser, c'est faire le chemin inverse : dans 12x + 8, repérer que 12x = 4 × 3x et 8 = 4 × 2, puis mettre le 4 en évidence : 12x + 8 = 4(3x + 2).
Pourquoi factoriser ? Parce qu'une forme en produit est souvent bien plus pratique : pour calculer vite, pour simplifier, et bientôt pour résoudre des équations. Un réflexe précieux : après avoir factorisé, redéveloppe mentalement pour vérifier que tu retombes sur l'expression de départ. C'est ton filet de sécurité.
Attention aux signes : dans 6x + 2 - x + 5, le signe qui précède un terme lui appartient. On regroupe 6x - x = 5x et 2 + 5 = 7. Garde chaque signe collé à son terme et tout ira bien.
Réduis l'expression 5x + 3 + 2x - 1.
5x + 2x = 7x
Je regroupe les termes de la famille des x : 5 paquets de x plus 2 paquets de x font 7 paquets de x.
3 - 1 = 2
Je regroupe les nombres seuls, en gardant chaque signe collé à son terme : + 3 et - 1 donnent + 2.
5x + 3 + 2x - 1 = 7x + 2
J'assemble les deux familles. On ne peut pas aller plus loin : 7x et 2 ne sont pas de la même famille.
Résultat : 5x + 3 + 2x - 1 = 7x + 2
Factorise l'expression 12x + 8.
12 = 4 × 3 et 8 = 4 × 2
Je cherche le plus grand nombre qui divise 12 et 8 à la fois : c'est 4, mon facteur commun.
12x + 8 = 4 × 3x + 4 × 2
Je réécris chaque terme pour faire apparaître le facteur 4.
4 × 3x + 4 × 2 = 4(3x + 2)
Je mets le 4 en évidence devant la parenthèse : c'est la distributivité à l'envers.
vérif : 4(3x + 2) = 12x + 8 ✓
Je redéveloppe mentalement pour vérifier : je retombe bien sur l'expression de départ.
Résultat : 12x + 8 = 4(3x + 2)