Niveau 4 · 4e – 3e
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Voici une astuce de calcul mental que tu utilises peut-être déjà : pour calculer 7 × 103, tu découpes 103 en 100 + 3, puis tu calcules 7 × 100 + 7 × 3 = 700 + 21 = 721. Tu viens d'utiliser la distributivité : le 7 se distribue sur chaque morceau de la somme. En algèbre, c'est pareil : k(a + b) = ka + kb.
Développer, c'est transformer un produit en somme : 3(x + 5) devient 3x + 15. Le 3 multiplie chaque terme de la parenthèse, sans en oublier aucun. Quand deux parenthèses se multiplient, chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Quatre produits, pas deux !
Factoriser, c'est le chemin inverse : transformer une somme en produit. Dans 3x + 15, le facteur 3 est présent dans les deux termes, donc 3x + 15 = 3(x + 5). Développer et factoriser sont deux directions sur la même route.
Trois produits reviennent si souvent qu'ils portent un nom : les identités remarquables. (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², et (a - b)(a + b) = a² - b². Le piège classique : croire que (a + b)² = a² + b². C'est faux, il manque le double produit 2ab ! Vérifie avec a = 3 et b = 1 : (3 + 1)² = 16, alors que 3² + 1² = 10.
Ces identités sont aussi des super-pouvoirs de calcul mental : 99² = (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801, sans poser l'opération. À toi de jouer !
Développe et réduis (x + 3)(x + 2).
x × x = x² et x × 2 = 2x
Le premier terme x multiplie chaque terme de la seconde parenthèse.
3 × x = 3x et 3 × 2 = 6
Puis le 3 multiplie à son tour chaque terme. Quatre produits en tout, aucun oubli !
x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6
Je rassemble tout et je réduis : 2x + 3x = 5x.
Résultat : (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6
Développe (x - 5)² avec l'identité remarquable.
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Je reconnais la forme (a - b)² avec a = x et b = 5.
a² = x², 2ab = 2 × x × 5 = 10x, b² = 25
Je calcule les trois morceaux : le carré de x, le double produit, le carré de 5.
(x - 5)² = x² - 10x + 25
J'assemble : moins le double produit, plus le carré de b. Le 25 est positif car un carré est toujours positif.
Résultat : (x - 5)² = x² - 10x + 25