Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Une équation demande : « pour quelle valeur ces deux quantités sont-elles égales ? » Une inéquation pose une question plus large : « pour quelles valeurs celle-ci dépasse-t-elle celle-là ? » Un budget à ne pas dépasser, une note minimale à atteindre, une vitesse limite : la vie regorge d'inégalités, et l'algèbre sait les résoudre.
Première grande différence : la solution n'est plus un nombre, c'est tout un territoire. L'inéquation x + 3 > 5 est vraie pour x = 2,1, pour x = 7, pour x = 1000... bref, pour TOUS les nombres strictement supérieurs à 2. On écrit : x > 2. Imagine la droite des nombres avec une zone coloriée qui s'étend sans fin.
Bonne nouvelle : les techniques des équations marchent presque toutes. Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés ? Autorisé, l'inégalité garde son sens. Multiplier ou diviser par un nombre POSITIF ? Autorisé aussi. Tu résous donc 3x - 5 < 7 exactement comme une équation : 3x < 12, puis x < 4.
Mais il y a UNE règle nouvelle, et c'est la star du chapitre : quand tu multiplies ou divises les deux côtés par un nombre NÉGATIF, le sens de l'inégalité SE RETOURNE. Pourquoi ? Regarde : 2 < 5 est vrai. Multiplie par -1 : on obtient -2 et -5, et c'est -2 > -5. Passer aux opposés inverse l'ordre, comme un miroir. Donc -2x ≤ 8 donne x ≥ -4 : le ≤ devient ≥.
Dernier réflexe de champion : vérifie avec une valeur test. Tu as trouvé x < 4 ? Prends x = 0, injecte-le dans l'inéquation de départ, et regarde si c'est vrai. Ce petit contrôle attrape presque toutes les erreurs de sens.
Résous l'inéquation 3x - 5 < 7.
3x < 7 + 5, soit 3x < 12
J'ajoute 5 des deux côtés : l'inégalité garde son sens.
x < 12 ÷ 3, soit x < 4
Je divise par 3, un nombre POSITIF : le sens ne change toujours pas.
test x = 0 : 3 × 0 - 5 = -5 < 7 ✓
Je vérifie avec une valeur de la zone trouvée : 0 est bien inférieur à 4 et rend l'inéquation vraie.
Résultat : Les solutions sont tous les nombres x tels que x < 4.
Résous l'inéquation -2x + 3 ≤ 11.
-2x ≤ 11 - 3, soit -2x ≤ 8
Je soustrais 3 des deux côtés : aucun danger, le sens est conservé.
x ≥ 8 ÷ (-2), soit x ≥ -4
Je divise par -2, un nombre NÉGATIF : le sens de l'inégalité se retourne, ≤ devient ≥.
test x = 0 : -2 × 0 + 3 = 3 ≤ 11 ✓
Je teste x = 0 (qui est bien ≥ -4) dans l'inéquation de départ : 3 ≤ 11, c'est vrai. Le retournement était le bon choix.
Résultat : Les solutions sont tous les nombres x tels que x ≥ -4.