Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Petite enquête : à la boulangerie, deux stylos et un cahier coûtent 7 euros, et un stylo avec le même cahier coûte 5 euros. Combien coûte chaque article ? Un seul indice ne suffit pas, mais les deux ensemble permettent de tout retrouver. Deux inconnues demandent deux équations : c'est un système.
Un couple (x ; y) est solution d'un système quand il vérifie les DEUX équations en même temps. C'est le piège classique des QCM : un couple qui marche dans une seule équation n'est pas une solution. Vérifie toujours les deux !
Première méthode, la substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre grâce à une équation, puis on remplace dans la deuxième. Il ne reste alors qu'une équation à une inconnue, et ça, tu sais faire.
Deuxième méthode, la combinaison (ou élimination) : on additionne ou on soustrait les équations pour faire disparaître une inconnue. Par exemple, si l'une contient +y et l'autre -y, leur somme élimine y d'un coup.
Géométriquement, chaque équation dessine une droite, et résoudre le système, c'est chercher leur point d'intersection. Deux droites sécantes : une solution unique. Deux droites parallèles distinctes : aucune solution. Deux droites confondues : une infinité de solutions.
Résous par combinaison : { x + y = 5 ; 2x - y = 1 }.
(x + y) + (2x - y) = 5 + 1
J'additionne les deux équations : le +y et le -y vont s'annuler.
3x = 6 donc x = 2
Il ne reste que x, que j'isole en divisant par 3.
2 + y = 5 donc y = 3
Je remplace x par 2 dans la première équation pour trouver y.
2 × 2 - 3 = 1
Vérification dans la seconde équation : 4 - 3 = 1, tout est bon.
Résultat : La solution est le couple (2 ; 3).
Résous par substitution : { y = x + 1 ; x + 2y = 8 }.
x + 2(x + 1) = 8
La première équation me donne y : je le remplace dans la seconde.
3x + 2 = 8 donc 3x = 6 et x = 2
Je développe, je réduis, et je résous cette équation à une seule inconnue.
y = 2 + 1 = 3
Je remonte à y grâce à la première équation.
2 + 2 × 3 = 8
Vérification : 2 + 6 = 8, le couple (2 ; 3) vérifie bien les deux équations.
Résultat : La solution est le couple (2 ; 3).