Niveau 6 · Première
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Lance un ballon en l'air : sa trajectoire dessine une courbe en arc, une parabole. Cette courbe est le graphe d'une fonction du second degré, de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a non nul. Le terme en x², nouveau par rapport aux fonctions affines, est responsable de la courbure.
Résoudre ax² + bx + c = 0, c'est chercher où la parabole traverse l'axe horizontal. Selon sa position, elle peut le couper deux fois, le toucher une seule fois, ou passer entièrement au-dessus ou en dessous. Il existe donc zéro, une ou deux solutions.
Un nombre magique tranche la question : le discriminant, noté Δ (delta), avec Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, il y a deux solutions : x = (-b - √Δ) ÷ (2a) et x = (-b + √Δ) ÷ (2a). Si Δ = 0, une seule solution : x = -b ÷ (2a). Si Δ < 0, aucune solution réelle : on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.
Les pièges à éviter : bien identifier a, b et c avec leurs signes (dans x² - 3x + 2, on a b = -3), ne pas oublier le 2a au dénominateur (2a, pas 2), et se souvenir que -b change le signe de b. Enfin, le signe de a donne l'allure de la parabole : branches vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Résous x² - 5x + 6 = 0.
a = 1, b = -5, c = 6
J'identifie les coefficients avec leurs signes : attention, b vaut -5.
Δ = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1
Je calcule le discriminant. Δ = 1 > 0 : il y aura deux solutions.
x = (5 - 1) ÷ 2 = 2 et x = (5 + 1) ÷ 2 = 3
J'applique la formule x = (-b ± √Δ) ÷ (2a) : ici -b = 5 et √Δ = 1.
2² - 5 × 2 + 6 = 0 et 3² - 5 × 3 + 6 = 0
Vérification : 4 - 10 + 6 = 0 et 9 - 15 + 6 = 0. Les deux solutions sont confirmées.
Résultat : Les solutions sont x = 2 et x = 3.
Résous x² + 2x + 5 = 0.
a = 1, b = 2, c = 5
J'identifie les coefficients.
Δ = 2² - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16
Le discriminant est négatif.
Δ < 0
Aucun nombre réel n'a un carré négatif, donc √Δ n'existe pas : l'équation n'a pas de solution réelle. La parabole ne touche jamais l'axe horizontal.
Résultat : Aucune solution réelle.