À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu sais résoudre ax² + bx + c = 0 avec le discriminant. Nouvelle question, plus riche : pour quelles valeurs de x le trinôme est-il positif ? Négatif ? C'est l'étude du SIGNE du trinôme, et c'est la clé des inéquations du second degré comme x² - 5x + 6 > 0.
L'image à garder en tête : la courbe du trinôme est une parabole. Si a > 0, elle sourit (tournée vers le haut) ; si a < 0, elle boude (tournée vers le bas). Les racines sont les points où elle traverse l'axe horizontal. Entre les racines, la parabole passe de l'autre côté de l'axe : le signe y est opposé à celui de a.
D'où la règle d'or, quand Δ > 0 et que le trinôme a deux racines x₁ < x₂ : le trinôme est du signe de a à l'EXTÉRIEUR des racines, et du signe CONTRAIRE de a entre les racines. Exemple : x² - 5x + 6 a pour racines 2 et 3, avec a = 1 > 0. Il est donc positif avant 2 et après 3, négatif entre 2 et 3, nul en 2 et en 3.
Les deux autres cas se lisent sur la parabole. Si Δ = 0, la parabole touche l'axe en un seul point : le trinôme est du signe de a partout, sauf en la racine où il s'annule. Si Δ < 0, la parabole ne touche jamais l'axe : le trinôme garde le signe de a pour TOUT x. Ainsi x² + x + 1, avec Δ = -3, est toujours strictement positif.
Pour résoudre une inéquation du second degré, le rituel est donc : tout ramener d'un côté, calculer Δ et les racines éventuelles, dresser le tableau de signes (ou imaginer la parabole), puis lire la zone demandée. Dernier point de vigilance : inégalité stricte (< ou >) exclut les racines, inégalité large (≤ ou ≥) les inclut.