La fonction inverse et l'hyperbole

Partage un gâteau entre des invités : plus il y a d'invités, plus la part de chacun est petite. Avec 2 invités, chacun reçoit 1/2 du gâteau ; avec 4 invités, 1/4 ; avec 10 invités, 1/10. Cette idée toute simple, c'est la fonction inverse : à chaque nombre x non nul, elle associe son inverse 1/x.

On note f(x) = 1/x. Attention au point de départ : on ne peut pas diviser par zéro, donc 0 n'a pas d'image. L'ensemble de définition de la fonction inverse est donc tous les réels sauf 0, ce qu'on note ℝ*.

Sa courbe s'appelle une hyperbole. Elle est formée de deux branches séparées : une dans le quart de plan où x et y sont positifs, l'autre où x et y sont négatifs. Quand x devient très grand, 1/x se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre : la courbe frôle l'axe des abscisses. Quand x se rapproche de 0, 1/x explose : la courbe frôle l'axe des ordonnées. Ces deux axes sont les asymptotes de l'hyperbole.

Dernière propriété élégante : l'inverse de -x est -(1/x). La courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère : on dit que la fonction inverse est impaire. Sur chacune de ses deux branches, elle est décroissante : plus x grandit, plus 1/x diminue.