Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Un taxi affiche : prise en charge 3 euros, puis 2 euros par kilomètre. Pour un trajet de x kilomètres, tu paies f(x) = 2x + 3 euros. Cette formule, où x est multiplié par un nombre puis augmenté d'un autre, définit une fonction affine : f(x) = ax + b.
Les deux nombres a et b racontent chacun une histoire. Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : c'est f(0), le point de départ (ici les 3 euros que tu paies avant même de rouler). Le nombre a est le coefficient directeur : c'est la vitesse de variation (ici, chaque kilomètre ajoute 2 euros).
Graphiquement, une fonction affine se dessine toujours en ligne droite. La droite coupe l'axe vertical à la hauteur b, et le coefficient a donne la pente : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a. Si a est positif, la droite monte (fonction croissante). Si a est négatif, elle descend (fonction décroissante). Si a est nul, elle est horizontale.
Deux points suffisent pour connaître toute la droite. Le coefficient directeur se calcule avec deux points par la formule : a = (variation de y) ÷ (variation de x). Attention au piège classique : ne confonds pas a et b ! Dans f(x) = 5x + 2, le coefficient directeur est 5 (le nombre qui multiplie x) et l'ordonnée à l'origine est 2.
Décris la fonction f(x) = 2x + 3 : point de départ et variation.
f(0) = 2 × 0 + 3 = 3
L'ordonnée à l'origine est 3 : la droite coupe l'axe vertical à la hauteur 3.
f(1) = 5, f(2) = 7, f(3) = 9
À chaque fois que x augmente de 1, f(x) augmente de 2 : c'est le coefficient directeur.
a = 2 > 0
Le coefficient est positif, donc la droite monte : la fonction est croissante.
Résultat : f part de 3 et monte de 2 à chaque pas : droite croissante de pente 2.
Trouve la fonction affine f telle que f(0) = 1 et f(2) = 7.
b = f(0) = 1
L'ordonnée à l'origine se lit directement : c'est la valeur en x = 0.
a = (7 - 1) ÷ (2 - 0) = 6 ÷ 2 = 3
Le coefficient directeur est la variation de y divisée par la variation de x.
f(x) = 3x + 1
J'assemble a et b, puis je vérifie : f(2) = 3 × 2 + 1 = 7, c'est bon.
Résultat : f(x) = 3x + 1