Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Avant de savoir résoudre une équation par le calcul, on peut souvent la résoudre avec les yeux ! Une courbe contient une quantité énorme d'informations : chaque point de la courbe de f a pour coordonnées (x ; f(x)). Savoir lire une courbe, c'est savoir répondre à des questions sur f sans aucun calcul.
Résoudre graphiquement f(x) = k, c'est chercher les abscisses des points où la courbe de f rencontre la droite horizontale d'équation y = k. Chaque point d'intersection donne une solution : son abscisse. S'il n'y a pas de point d'intersection, l'équation n'a pas de solution.
Même idée pour une équation du type f(x) = g(x) : les solutions sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Là où les courbes se croisent, les deux fonctions prennent la même valeur.
Pour une inéquation comme f(x) < k, on ne cherche plus des points isolés mais des zones : les solutions sont les abscisses de tous les points où la courbe est strictement en dessous de la droite y = k. La réponse est alors un ou plusieurs intervalles.
Un conseil de pro : la lecture graphique donne des valeurs approchées ou le nombre de solutions, et le calcul donne les valeurs exactes. Les deux se complètent, et vérifier l'un avec l'autre est un excellent réflexe.
La courbe de f(x) = x² est tracée. Résous graphiquement l'équation f(x) = 4.
y = 4
Je trace la droite horizontale d'équation y = 4 sur le même graphique que la parabole.
2 points d'intersection
La droite coupe la parabole en deux points : l'équation a donc deux solutions.
x = -2 et x = 2
Je lis les abscisses de ces points : -2 et 2. Vérification par le calcul : (-2)² = 4 et 2² = 4.
Résultat : Les solutions de f(x) = 4 sont x = -2 et x = 2.
Toujours avec f(x) = x², résous graphiquement l'inéquation f(x) ≤ 1.
y = 1
Je trace la droite horizontale y = 1 et je repère où la parabole est en dessous ou au niveau de cette droite.
x² = 1 pour x = -1 ou x = 1
La parabole touche la droite aux points d'abscisses -1 et 1 : ce sont les bornes de la zone cherchée.
-1 ≤ x ≤ 1
Entre ces deux abscisses, la parabole est sous la droite. La solution est donc tout l'intervalle, bornes comprises car l'inégalité est large.
Résultat : L'ensemble des solutions est l'intervalle [-1 ; 1].