À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Regarde le profil d'une étape de montagne : la route monte, atteint un col, puis redescend. Une courbe de fonction se lit exactement comme ça, toujours de gauche à droite, dans le sens de la lecture. Décrire ces montées et ces descentes, c'est étudier les variations de la fonction.
Le vocabulaire est simple. Sur un intervalle, une fonction est croissante si, quand x augmente, f(x) augmente aussi : la courbe monte. Elle est décroissante si, quand x augmente, f(x) diminue : la courbe descend. Le point le plus haut d'une bosse s'appelle un maximum, le point le plus bas d'un creux un minimum.
Pour résumer tout cela d'un coup d'oeil, on utilise un tableau de variations : une ligne pour x avec les valeurs charnières, une ligne pour f avec des flèches. Une flèche qui monte signifie croissante, une flèche qui descend signifie décroissante. Aux pointes des flèches, on écrit les valeurs de f, ce qui fait apparaître directement les maximums et les minimums.
Le signe d'une fonction est une autre question, à ne pas confondre avec les variations. La fonction est positive quand sa courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (f(x) > 0), négative quand elle est en dessous (f(x) < 0), et elle s'annule quand la courbe touche ou traverse cet axe.
Piège classique à désamorcer tout de suite : une fonction peut très bien descendre tout en restant positive, comme un avion qui perd de l'altitude mais vole encore au-dessus du sol. Décroissante ne veut pas dire négative, et croissante ne veut pas dire positive. Les variations décrivent le mouvement, le signe décrit la position par rapport à l'axe.
Une fonction f est définie sur [-3 ; 4]. Sa courbe descend du point (-3 ; 5) jusqu'au point (1 ; -2), puis remonte jusqu'au point (4 ; 3). Décris les variations de f.
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Lecture de gauche à droite
Je parcours la courbe de gauche à droite, comme une phrase, en repérant où elle monte et où elle descend.
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De x = -3 à x = 1 : f(x) passe de 5 à -2
Sur cette partie la courbe descend : quand x augmente, f(x) diminue. Donc f est décroissante sur [-3 ; 1].
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De x = 1 à x = 4 : f(x) passe de -2 à 3
Ensuite la courbe remonte : f est croissante sur [1 ; 4].
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Minimum : f(1) = -2
Le creux est atteint au changement de sens. Dans le tableau de variations : flèche qui descend de 5 à -2, puis flèche qui monte de -2 à 3.
Résultat : f est décroissante sur [-3 ; 1], croissante sur [1 ; 4], et son minimum vaut -2, atteint en x = 1.
Sur [-4 ; 5], la courbe de f coupe l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3. Elle est au-dessus de l'axe avant -1 et après 3, en dessous entre les deux. Dresse le tableau de signes de f.
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f(x) = 0 pour x = -1 et x = 3
La fonction s'annule là où la courbe touche l'axe des abscisses. Ces valeurs découpent l'intervalle en trois zones.
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Sur [-4 ; -1[ : courbe au-dessus, f(x) > 0
Au-dessus de l'axe, les valeurs de f sont positives.
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Sur ]-1 ; 3[ : courbe en dessous, f(x) < 0
Entre -1 et 3, la courbe passe sous l'axe : f est négative.
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Sur ]3 ; 5] : courbe au-dessus, f(x) > 0
Après 3, la courbe repasse au-dessus : f redevient positive. Le tableau de signes affiche donc : +, 0, -, 0, +.
Résultat : f est positive sur [-4 ; -1], négative sur [-1 ; 3], positive sur [3 ; 5], et s'annule en -1 et en 3.