Niveau 6 · Première
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu sais déjà ce que représente le nombre dérivé : la pente de la tangente à la courbe, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la fonction varie en un point. Mais calculer cette pente à la main, avec un taux de variation, est long. Bonne nouvelle : pour les fonctions usuelles, le travail a été fait une fois pour toutes, et il suffit de connaître les formules.
La vedette du tableau est la formule des puissances : la dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹. L'exposant descend devant en coefficient, et l'exposant diminue de 1. Ainsi la dérivée de x² est 2x, celle de x³ est 3x², celle de x⁴ est 4x³. Deux cas extrêmes à retenir : la dérivée de x est 1, et la dérivée d'une constante est 0 (une fonction constante ne varie pas, sa pente est nulle partout).
Deux autres formules complètent la panoplie : la dérivée de 1/x est -1/x², et la dérivée de √x est 1/(2√x). Remarque que ces deux formules sont cohérentes avec la formule des puissances, car 1/x = x⁻¹ et √x = x^(1/2).
Enfin, deux règles de combinaison rendent le tableau vraiment puissant : la dérivée de k·f est k·f′ (une constante multiplicative reste en facteur), et la dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Avec ça, tu peux dériver n'importe quel polynôme terme à terme, en quelques secondes.
Dérive f(x) = x³ avec la formule des puissances.
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Je pars de la formule générale : l'exposant descend en coefficient, puis diminue de 1.
n = 3
Ici l'exposant est 3 : il descend devant, et le nouvel exposant est 3 - 1 = 2.
f′(x) = 3x²
J'obtiens 3x². Vérification rapide : la dérivée de x² est bien 2x avec la même règle, la mécanique est cohérente.
Résultat : Si f(x) = x³, alors f′(x) = 3x².
Dérive f(x) = 5x² + 3x - 7.
(5x²)′ = 5 × 2x = 10x
Je dérive terme à terme. Le coefficient 5 reste en facteur, et la dérivée de x² est 2x.
(3x)′ = 3
La dérivée de x est 1, donc celle de 3x est 3.
(-7)′ = 0
La dérivée d'une constante est nulle : le -7 disparaît.
f′(x) = 10x + 3
J'additionne les trois dérivées. Relecture : 10x vient du 5x², 3 vient du 3x, et rien du -7. Tout est en ordre.
Résultat : f′(x) = 10x + 3