À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Lance un ballon vers un panier et observe sa trajectoire : il monte, culmine, puis redescend en dessinant une courbe arrondie et parfaitement symétrique. Cette courbe s'appelle une parabole, et c'est la signature graphique du second degré, c'est-à-dire des fonctions où x apparaît au carré.
Le modèle de base est la fonction carré, f(x) = x². Calcule quelques valeurs : f(-2) = 4, f(-1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4. Deux choses sautent aux yeux. D'abord un nombre et son opposé ont le même carré, donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical. Ensuite les valeurs descendent jusqu'à 0 puis remontent : f est décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, avec un minimum 0 atteint en 0.
Toute fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a non nul, garde cette allure de parabole. Son point le plus bas ou le plus haut s'appelle le sommet, et la droite verticale qui passe par le sommet est l'axe de symétrie : la parabole s'y replie exactement sur elle-même. L'abscisse du sommet se calcule avec une formule à connaître par coeur : x = -b/(2a). Pour trouver l'ordonnée du sommet, il suffit ensuite de calculer l'image de cette valeur.
Le signe de a décide de l'orientation. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut, comme un bol : elle descend puis remonte, et le sommet est un minimum. Si a < 0, elle est tournée vers le bas, comme une cloche : elle monte puis redescend, et le sommet est un maximum. Sommet, axe de symétrie, orientation : avec ces trois clés, tu peux esquisser n'importe quelle parabole en quelques secondes.