À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Sur une droite, la pente est la même partout : c'est le coefficient directeur. Mais sur une courbe, la pente change sans arrêt ! Pense à une route de montagne : parfois elle grimpe fort, parfois elle est presque plate, parfois elle descend. Comment mesurer la pente d'une courbe en un point précis ? C'est exactement le travail de la dérivée.
Première idée : entre deux points d'une courbe, on peut calculer une pente moyenne, appelée taux de variation : (f(b) - f(a)) ÷ (b - a). C'est la pente de la droite qui relie les deux points, comme la vitesse moyenne d'un trajet.
Deuxième idée, le coup de génie : rapprochons les deux points. On calcule le taux de variation entre a et a + h, puis on fait tendre h vers 0. Si ce taux se rapproche d'un nombre fixe, ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a). C'est la pente instantanée, comme la vitesse affichée au compteur à un instant précis.
Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente : la droite qui frôle la courbe au point d'abscisse a, en épousant sa direction. Son équation est y = f'(a)(x - a) + f(a). Cas particulier utile : si la tangente est horizontale, alors f'(a) = 0, ce qui arrive souvent au sommet d'une bosse ou au fond d'un creux.
Pour la fonction f(x) = x², on admettra le résultat calculé dans l'exemple : f'(x) = 2x. En un point d'abscisse 3, la pente de la courbe vaut donc 2 × 3 = 6.