Niveau 6 · Première
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu mets 3 euros dans une tirelire, puis 5 euros de plus chaque semaine : 3, 8, 13, 18... Une rumeur se propage : une personne le premier jour, puis chaque personne le répète à deux autres : 1, 2, 4, 8, 16... Ces listes de nombres qui évoluent selon une règle s'appellent des suites.
On note une suite u, et son terme numéro n s'écrit u indice n, noté ici u(n). Le premier terme est souvent u(0). Une suite peut se définir de deux façons : par récurrence (comment passer d'un terme au suivant) ou par une formule explicite (comment calculer directement le terme numéro n, sans calculer tous les précédents).
Une suite arithmétique avance en ajoutant toujours le même nombre r, appelé la raison : u(n+1) = u(n) + r. Sa formule explicite est u(n) = u(0) + n × r. La tirelire en est une : u(0) = 3, r = 5, donc u(n) = 3 + 5n. Pour reconnaître une suite arithmétique, vérifie que la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Une suite géométrique avance en multipliant toujours par le même nombre q, sa raison : v(n+1) = v(n) × q. Sa formule explicite est v(n) = v(0) × q puissance n. La rumeur en est une : v(0) = 1, q = 2. Pour la reconnaître, vérifie que le quotient de deux termes consécutifs est constant.
Le test infaillible : d'un terme au suivant, si on AJOUTE toujours pareil, c'est arithmétique ; si on MULTIPLIE toujours pareil, c'est géométrique. Une augmentation de 2 % par an, par exemple, multiplie par 1,02 chaque année : c'est géométrique, pas arithmétique !
La suite u est arithmétique avec u(0) = 3 et r = 5. Donne sa formule explicite et calcule u(10).
u(1) = 8, u(2) = 13, u(3) = 18
Chaque terme ajoute 5 au précédent. Pour atteindre u(n), on a ajouté n fois la raison.
u(n) = 3 + 5n
Formule explicite : le terme de départ plus n fois la raison.
u(10) = 3 + 5 × 10 = 53
Plus besoin de calculer les 10 termes précédents : la formule donne u(10) directement.
Résultat : u(n) = 3 + 5n et u(10) = 53.
La suite v est géométrique avec v(0) = 2 et q = 3. Donne sa formule explicite et calcule v(4).
v(1) = 6, v(2) = 18, v(3) = 54
Chaque terme est multiplié par 3. Pour atteindre v(n), on a multiplié n fois par la raison.
v(n) = 2 × 3ⁿ
Formule explicite : le terme de départ multiplié par q puissance n.
v(4) = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162
Je calcule 3⁴ = 81, puis je multiplie par 2.
Résultat : v(n) = 2 × 3ⁿ et v(4) = 162.