À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Imagine que tu marches le long d'une courbe, de gauche à droite, comme sur un sentier de montagne. À chaque instant, la pente sous tes pieds te dit si tu montes ou si tu descends. Cette pente, c'est exactement le nombre dérivé. Voilà l'idée centrale de ce cours : le signe de f′ commande le sens de variation de f.
Le théorème s'énonce simplement. Si f′(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle : la pente est positive, ça monte. Si f′(x) < 0, alors f est strictement décroissante : ça descend. Et si f′ s'annule en changeant de signe, la fonction passe d'une montée à une descente (ou l'inverse) : c'est un sommet ou un creux, autrement dit un extremum local.
La méthode d'étude est toujours la même, en trois temps : calculer f′(x), étudier le signe de f′(x), puis dresser le tableau de variations. Le tableau rassemble tout : les intervalles de croissance et de décroissance, et les valeurs de f aux points où f′ change de signe.
Un point de vigilance pour finir : f′(a) = 0 ne suffit pas à garantir un extremum en a. Il faut que f′ change de signe. La fonction x³ en donne un exemple fameux : sa dérivée 3x² s'annule en 0, mais reste positive de part et d'autre, et la fonction continue de monter. Pas de sommet, juste un palier instantané.
Étudie les variations de f(x) = x³ - 3x sur ℝ.
- 1
f′(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1)
Je dérive puis je factorise pour lire le signe plus facilement : 3(x - 1)(x + 1).
- 2
f′(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 1
La dérivée s'annule en -1 et en 1. Elle est positive à l'extérieur des racines, négative entre.
- 3
f(-1) = -1 + 3 = 2
En x = -1, f′ passe du positif au négatif : c'est un maximum local, de valeur 2.
- 4
f(1) = 1 - 3 = -2
En x = 1, f′ passe du négatif au positif : c'est un minimum local, de valeur -2. Le tableau se lit : montée, descente, montée.
Résultat : f croît sur ]-∞ ; -1], décroît sur [-1 ; 1], puis croît sur [1 ; +∞[. Maximum local 2 en x = -1, minimum local -2 en x = 1.