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Applications de la dérivée

Niveau 7 · Terminale

Rappel éclair· On réveille ce que tu sais déjà avant d'attaquer.

Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?

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À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.

Tu sais déjà calculer une dérivée : f'(x) mesure la pente de la courbe de f au point d'abscisse x. Il est temps de transformer cet outil de calcul en machine à résoudre des problèmes. L'idée tient en une phrase : la pente dit tout sur le mouvement de la courbe.

Si f'(x) > 0 sur un intervalle, la pente y est positive partout : la courbe monte, donc f est croissante. Si f'(x) < 0, la pente est négative : f est décroissante. Le plan d'étude est donc toujours le même : calculer f', étudier le signe de f', puis en déduire les variations de f dans un tableau.

Les points où f'(x) = 0 sont les endroits où la tangente est horizontale. Si, en un tel point, f' passe du positif au négatif, la courbe monte puis descend : c'est un maximum local. Si f' passe du négatif au positif, c'est un minimum local. Attention, condition indispensable : f' doit changer de signe. Pour f(x) = x³, on a f'(0) = 0, mais f' reste positive de part et d'autre : la courbe fait un palier et continue de monter, sans aucun extremum.

Cette méthode devient redoutable dans les problèmes d'optimisation : trouver la plus grande aire possible, le coût minimal, le volume maximal. La démarche : exprimer la quantité à optimiser comme une fonction d'une seule variable, préciser l'intervalle d'étude, dériver, étudier le signe de la dérivée, et conclure avec le tableau de variations. Le meilleur choix se lit alors au sommet ou au creux du tableau.

L'exemple, pas à pas

Étudie les variations de f(x) = x³ - 3x sur son domaine.

f'(x) = 3x² - 3
Je dérive terme à terme : la dérivée de x³ est 3x², celle de -3x est -3.
f'(x) = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
Je factorise pour étudier le signe. La dérivée s'annule en x = -1 et x = 1.
f' > 0 si x < -1 ou x > 1 ; f' < 0 entre -1 et 1
C'est un trinôme avec un coefficient positif devant x² : il est négatif entre ses racines, positif à l'extérieur.
f(-1) = -1 + 3 = 2 ; f(1) = 1 - 3 = -2
Je calcule f aux points où f' s'annule en changeant de signe : ce sont les extremums locaux.

Résultat : f est croissante sur ]-∞ ; -1], décroissante sur [-1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[. Maximum local 2 en x = -1, minimum local -2 en x = 1.

Avec 20 m de grillage, tu veux clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un des grands côtés). Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Largeur x, longueur 20 - 2x, avec 0 < x < 10
Je nomme x la largeur. Le grillage couvre deux largeurs et une longueur : la longueur vaut donc 20 - 2x. Je précise l'intervalle d'étude.
A(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x²
J'exprime l'aire à maximiser comme une fonction de la seule variable x.
A'(x) = 20 - 4x, qui s'annule en x = 5
Je dérive, puis je cherche où la dérivée s'annule : 20 - 4x = 0 donne x = 5.
A' > 0 si x < 5, A' < 0 si x > 5
L'aire croît puis décroît : le maximum est atteint en x = 5, où la dérivée s'annule en changeant de signe.
A(5) = 5 × 10 = 50
Je conclus : largeur 5 m, longueur 20 - 10 = 10 m, pour une aire maximale de 50 m².

Résultat : L'aire est maximale pour une largeur de 5 m et une longueur de 10 m : elle vaut alors 50 m².