Niveau 7 · Terminale
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu connais déjà la fonction exponentielle et ses règles de calcul. Il est temps d'en dresser le portrait complet, comme on étudie n'importe quelle fonction : signe, variations, limites, tangentes. Et ce portrait est d'une élégance rare, car toutes les propriétés découlent d'une seule identité magique : la fonction exponentielle est sa propre dérivée, (eˣ)′ = eˣ.
Première propriété : pour tout réel x, eˣ > 0. Une exponentielle n'est jamais nulle, jamais négative, même pour des x très négatifs : e⁻¹⁰⁰⁰ est minuscule, mais strictement positif. La courbe vit donc entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
Combine les deux : la dérivée de eˣ est eˣ, qui est toujours strictement positive. Une fonction dont la dérivée est strictement positive partout est strictement croissante sur ℝ. Conséquence précieuse pour les équations : eᵃ = eᵇ équivaut à a = b, et eᵃ < eᵇ équivaut à a < b.
Aux extrémités, les comportements sont contrastés : quand x tend vers -∞, eˣ tend vers 0 (l'axe des abscisses est asymptote), et quand x tend vers +∞, eˣ tend vers +∞, plus vite que n'importe quelle puissance de x. Entre les deux, la courbe passe par deux points repères : (0 ; 1) car e⁰ = 1, et (1 ; e) avec e ≈ 2,718.
Enfin, la tangente au point (0 ; 1) a pour pente e⁰ = 1 : son équation est y = x + 1. La courbe reste toujours au-dessus de cette tangente, une inégalité célèbre que tu vas démontrer dans ce cours : eˣ ≥ x + 1 pour tout réel x.
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de exp au point d'abscisse 0.
f(0) = e⁰ = 1
Je calcule le point de tangence : la courbe passe par (0 ; 1).
f′(x) = eˣ donc f′(0) = 1
L'exponentielle est sa propre dérivée, donc la pente de la tangente en 0 vaut e⁰ = 1.
y = f′(0)(x - 0) + f(0) = x + 1
J'applique la formule de la tangente : pente 1, passant par (0 ; 1). J'obtiens y = x + 1.
Résultat : La tangente en 0 a pour équation y = x + 1.
Démontre que eˣ ≥ x + 1 pour tout réel x, en étudiant f(x) = eˣ - x - 1.
f′(x) = eˣ - 1
Je dérive : la dérivée de eˣ est eˣ, celle de -x est -1, et la constante disparaît.
eˣ - 1 = 0 ⟺ x = 0
Comme exp est strictement croissante et vaut 1 en 0 : f′ est négative pour x < 0 et positive pour x > 0.
f(0) = e⁰ - 0 - 1 = 0
f décroît puis croît : son minimum est f(0) = 0.
f(x) ≥ 0 donc eˣ ≥ x + 1
Le minimum de f vaut 0, donc f est positive partout : la courbe de exp reste au-dessus de sa tangente y = x + 1.
Résultat : Pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1, avec égalité seulement en x = 0.