Niveau 7 · Terminale
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Une population de bactéries qui double chaque heure, un capital placé à intérêts composés, la propagation d'une information : toutes ces croissances multiplicatives explosent bien plus vite qu'une droite. Pour les décrire en temps continu, les mathématiciens utilisent la fonction exponentielle, notée exp(x) ou e puissance x, où e est un nombre proche de 2,718.
L'exponentielle prolonge les règles des puissances que tu connais déjà. Règle d'or : e puissance a fois e puissance b égale e puissance (a + b). Un produit d'exponentielles se traduit par une SOMME d'exposants, pas un produit ! De même, (e puissance a) élevé à la puissance b donne e puissance (a × b), et e puissance 0 vaut 1. Autre propriété capitale : e puissance x est toujours strictement positif, quelle que soit la valeur de x, et la fonction est strictement croissante.
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction miroir de l'exponentielle : il répond à la question inverse. Si e puissance x égale 5, alors x égale ln(5). Les deux fonctions se neutralisent : ln(e puissance x) = x et e puissance ln(x) = x pour x strictement positif. Attention : ln n'accepte que des nombres strictement positifs, car aucune exponentielle ne donne un résultat négatif ou nul.
Le logarithme hérite des règles en miroir : ln(a × b) = ln(a) + ln(b), le logarithme transforme les produits en sommes. C'est son super-pouvoir historique : avant les calculatrices, il transformait les multiplications difficiles en additions faciles. Retiens aussi ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Côté équations, la stricte croissance des deux fonctions donne une méthode limpide : e puissance a égale e puissance b équivaut à a = b, et pour résoudre e puissance x égale k (avec k positif), on applique ln des deux côtés : x = ln(k).
Simplifie e² × e⁵, puis (e³)², puis ln(e⁴).
e² × e⁵ = e²⁺⁵ = e⁷
Un produit d'exponentielles : j'additionne les exposants.
(e³)² = e³ˣ² = e⁶
Une puissance de puissance : je multiplie les exposants.
ln(e⁴) = 4
ln et exp sont des fonctions miroirs : elles se neutralisent, il reste l'exposant.
Résultat : e² × e⁵ = e⁷, (e³)² = e⁶ et ln(e⁴) = 4.
Résous l'équation e^x = 5.
5 > 0
Je vérifie d'abord que le second membre est strictement positif, sinon aucune solution.
ln(e^x) = ln(5)
J'applique ln des deux côtés : l'égalité est conservée car ln est strictement croissante.
x = ln(5) ≈ 1,61
ln(e^x) = x, donc la solution exacte est ln(5). La valeur approchée confirme : e^1,61 ≈ 5.
Résultat : La solution est x = ln(5).