À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Partage un gâteau entre x personnes : chacun reçoit 1/x du gâteau. Pour 10 personnes, un dixième. Pour 1000 personnes, un millième. Plus x grandit, plus la part se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre. On dit que la limite de 1/x quand x tend vers plus l'infini est 0, et on le note avec une flèche : quand x → +∞, 1/x → 0.
Une limite décrit le comportement d'une fonction aux frontières : quand x devient immense (vers +∞ ou -∞), ou quand x s'approche d'une valeur interdite. Le résultat peut être un nombre fini, ou bien +∞ ou -∞ si la fonction s'envole. Exemple de valeur interdite : 1/x quand x s'approche de 0 par les positifs. Diviser 1 par un nombre minuscule donne un résultat gigantesque : la limite est +∞.
Graphiquement, une limite finie en l'infini se voit comme une asymptote horizontale : la courbe se colle à une droite horizontale sans jamais vraiment la toucher. Si la limite de f(x) quand x → +∞ vaut 3, la courbe longe la droite y = 3. Une limite infinie en un point donne une asymptote verticale, comme la droite x = 0 pour 1/x.
Pour les polynômes, un réflexe utile : en l'infini, c'est le terme de plus haut degré qui commande. Ainsi 5 - x², quand x → +∞, se comporte comme -x² et tend vers -∞ : le -x² écrase largement le 5.
La continuité, elle, se joue en un point précis : f est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a existe et vaut exactement f(a). Intuitivement, la courbe se trace sans lever le crayon : pas de saut, pas de trou. Si la limite et la valeur f(a) ne coïncident pas, la courbe fait un saut et la continuité est rompue.