À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Depuis que tu sais dériver, tu sais transformer une fonction en sa dérivée. Et si on jouait au jeu inverse ? Je te donne f, et tu cherches une fonction F dont la dérivée est f. Une telle fonction F s'appelle une primitive de f. Par exemple, F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x, puisque (x²)′ = 2x.
Première surprise : une primitive n'est jamais seule. Comme la dérivée d'une constante est nulle, x² + 5, x² - 3 et x² + 100 sont aussi des primitives de 2x. Deux primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une constante : il y en a une infinité, toutes parallèles.
Pour trouver des primitives, on lit le tableau des dérivées à l'envers. La dérivée de xⁿ⁺¹ est (n+1)xⁿ, donc une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1). Concrètement : une primitive de x est x²/2, une primitive de x² est x³/3, une primitive de 3x² est x³. Le réflexe de vérification est immédiat : dérive ta primitive, tu dois retomber sur la fonction de départ.
À quoi ça sert ? À calculer des aires exactes ! L'intégrale de a à b de f, notée ∫f(x)dx entre a et b, mesure l'aire sous la courbe de f entre les abscisses a et b (quand f est positive). Et le théorème fondamental de l'analyse fournit la recette : cette aire vaut F(b) - F(a), où F est n'importe quelle primitive de f. La constante disparaît dans la soustraction, c'est pour cela que le choix de la primitive n'a pas d'importance.
Ce lien entre pente et aire, entre dérivée et intégrale, est l'un des plus beaux résultats de toutes les mathématiques. Deux questions en apparence sans rapport, et une seule théorie pour y répondre.