Niveau 4 · 4e – 3e
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Multiplier un nombre par lui-même plusieurs fois, c'est fatigant à écrire : 2 × 2 × 2 × 2 × 2... Les puissances compressent tout cela : 2⁵ signifie 5 facteurs égaux à 2, et vaut 32. Dans aⁿ, le nombre a est la base et n est l'exposant. Attention au piège classique : 3⁴, c'est 3 × 3 × 3 × 3 = 81, et surtout pas 3 × 4 = 12 !
Les puissances de 10 sont les plus pratiques : 10³ = 1000, 10⁶ = 1000000. L'exposant compte les zéros. Pour les nombres minuscules, on utilise des exposants négatifs : 10⁻³ = 0,001, c'est-à-dire un millième. L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il le rend petit !
Ces puissances de 10 permettent d'écrire les nombres immenses ou minuscules en notation scientifique : un nombre entre 1 et 10 (10 exclu), multiplié par une puissance de 10. Par exemple 45000 = 4,5 × 10⁴ et 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Les scientifiques s'en servent tous les jours : la distance Terre-Soleil s'écrit 1,5 × 10⁸ km, bien plus lisible que 150000000 km.
Dernier outil : quand on multiplie deux puissances de la même base, les exposants s'additionnent. 10² × 10³ = 10⁵, car 2 facteurs 10 suivis de 3 facteurs 10, cela fait 5 facteurs 10 en tout. Logique, non ?
Calcule 2⁵.
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
L'exposant 5 indique le nombre de facteurs : cinq 2 multipliés entre eux, pas 2 × 5.
2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16
Je multiplie de proche en proche : 4, puis 8, puis 16.
16 × 2 = 32
Un dernier facteur 2 et j'obtiens 32.
Résultat : 2⁵ = 32
Écris 45000 en notation scientifique.
45000 → 4,5
Je place la virgule juste après le premier chiffre non nul : j'obtiens 4,5, un nombre entre 1 et 10.
4,5 × 10⁴ = 45000
Pour passer de 4,5 à 45000, la virgule se décale de 4 rangs vers la droite : l'exposant est 4.
Résultat : 45000 = 4,5 × 10⁴