Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Les nombres forment des familles emboîtées comme des poupées russes. Les entiers naturels (0, 1, 2, 3...) forment l'ensemble N. En ajoutant les négatifs, on obtient les entiers relatifs : l'ensemble Z. Puis viennent les nombres décimaux (comme 3,72) et les rationnels, l'ensemble Q : tous les quotients d'entiers, comme 3/4 ou -5/2. Chaque famille contient la précédente : tout entier naturel est relatif, tout relatif est rationnel (par exemple -5 = -5/1).
Mais certains nombres échappent à toutes ces familles ! La racine carrée de 2, qui mesure la diagonale d'un carré de côté 1, ne peut s'écrire comme aucune fraction d'entiers. C'est un nombre irrationnel : ses décimales 1,41421356... continuent sans fin et sans période. En ajoutant ces rebelles, on obtient l'ensemble R des nombres réels : toute la droite graduée, sans aucun trou.
La racine carrée, justement, parlons-en. Pour un nombre positif a, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. Ainsi √81 = 9 car 9² = 81, et (√5)² = 5 par définition. Connaître les carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...) te donne un vrai superpouvoir.
Deux réflexes pour finir. D'abord, la racine d'un produit se sépare : √(a × b) = √a × √b, ce qui permet de simplifier √50 = √(25 × 2) = 5√2. Ensuite, gare au piège : la racine d'une somme ne se sépare PAS. √(16 + 9) = √25 = 5, alors que √16 + √9 = 4 + 3 = 7. La différence saute aux yeux !
À quels ensembles de nombres appartient -3 ?
-3 ∉ N
-3 est négatif : il n'est pas un entier naturel, car N ne contient que 0, 1, 2, 3...
-3 ∈ Z
C'est un entier avec un signe moins : il appartient aux entiers relatifs Z.
-3 = -3/1 ∈ Q, donc -3 ∈ R
Comme tout entier, -3 s'écrit en fraction (-3/1) : il est rationnel, donc aussi réel, car chaque famille contient la précédente.
Résultat : -3 appartient à Z, Q et R, mais pas à N
Simplifie √50.
50 = 25 × 2
Je cherche le plus grand carré parfait caché dans 50 : c'est 25.
√50 = √25 × √2
La racine d'un produit se sépare en produit de racines.
√25 = 5
√25 vaut 5, car 5² = 25. Il reste √2, qu'on ne peut pas simplifier.
Résultat : √50 = 5√2