Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
En chimie, toute matière est faite d'atomes. En arithmétique, c'est pareil : tout nombre entier est fait de nombres premiers. Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers de la liste : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
Deux pièges à éviter dès le départ. D'abord, 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même), pas deux. Ensuite, 2 est bien premier, c'est même le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, donc ils ont au moins trois diviseurs.
Le théorème central du cours, si important qu'on l'appelle le théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de facteurs premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre près). Par exemple 84 = 2 × 2 × 3 × 7, qu'on note 84 = 2² × 3 × 7. C'est la carte d'identité du nombre : aucun autre entier n'a la même.
Pour décomposer, la méthode est simple : on divise par le plus petit nombre premier possible, encore et encore, jusqu'à tomber sur 1. Et pour tester si un nombre est premier, pas besoin d'essayer tous les diviseurs : il suffit de tester les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas le nombre. Pour 101, on teste 2, 3, 5 et 7 (car 11² = 121 > 101) : aucun ne divise 101, donc 101 est premier.
Cette décomposition est un outil surpuissant : elle permet de simplifier des fractions, de trouver des PGCD, et elle protège même tes messages sur Internet, car casser en facteurs premiers un très grand nombre est un défi que même les ordinateurs ne savent pas relever rapidement. À toi de jouer avec les atomes des nombres !
Décompose 84 en produit de facteurs premiers.
84 ÷ 2 = 42
84 est pair, je divise par le plus petit premier, 2.
42 ÷ 2 = 21
42 est encore pair, je divise encore par 2.
21 ÷ 3 = 7
21 n'est plus pair, mais 2 + 1 = 3 : il est divisible par 3.
7 ÷ 7 = 1
7 est premier, je divise par 7 et j'arrive à 1 : la décomposition est finie.
84 = 2² × 3 × 7
Je rassemble les facteurs : deux 2, un 3, un 7. Vérification : 4 × 3 × 7 = 84.
Résultat : 84 = 2² × 3 × 7
Le nombre 91 est-il premier ?
9² = 81 ≤ 91 < 100 = 10²
Je n'ai besoin de tester que les premiers dont le carré ne dépasse pas 91 : c'est à dire 2, 3, 5 et 7.
91 impair, 9 + 1 = 10, finit par 1
91 n'est pas divisible par 2 (impair), ni par 3 (somme 10), ni par 5 (ne finit ni par 0 ni par 5).
91 = 7 × 13
Reste 7 : et là, surprise, 7 × 13 = 91 ! Donc 91 a d'autres diviseurs que 1 et lui-même.
Résultat : Non, 91 n'est pas premier : 91 = 7 × 13.