Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Un événement, c'est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire : « obtenir un nombre pair » avec un dé regroupe les issues 2, 4 et 6. À partir de deux événements A et B, on peut en fabriquer de nouveaux, et c'est là que ça devient intéressant.
L'événement contraire de A, noté A barre, se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Leurs probabilités se complètent : P(A barre) = 1 - P(A). C'est souvent le raccourci le plus malin : pour calculer une probabilité compliquée, calcule celle du contraire !
L'événement « A et B » (l'intersection) se réalise quand A et B se produisent tous les deux en même temps. L'événement « A ou B » (l'union) se réalise quand au moins un des deux se produit. Leur lien est donné par une formule clé : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B). Pourquoi soustraire ? Parce qu'en additionnant P(A) et P(B), les issues communes aux deux événements sont comptées deux fois.
Quand une expérience se déroule en plusieurs étapes (deux lancers de pièce, un dé puis une pièce), l'arbre de probabilités est ton meilleur allié. Chaque branche porte une probabilité, et la règle est simple : le long d'un chemin, on MULTIPLIE les probabilités des branches. Pour obtenir pile puis pile : 1/2 × 1/2 = 1/4.
Deux erreurs classiques à éviter : additionner le long d'un chemin au lieu de multiplier, et confondre « et » avec « ou ». Ce cours te fera travailler exactement là-dessus, pour que ces pièges ne t'attrapent plus jamais.
On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir pile puis pile ?
arbre : P/F puis P/F -> 4 chemins
Je dessine l'arbre : au premier lancer, deux branches (pile, face), et chacune se prolonge en deux branches au second lancer. Quatre chemins en tout : PP, PF, FP, FF.
P(P puis P) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Le chemin pile puis pile traverse deux branches qui portent chacune 1/2. Le long d'un chemin, je multiplie : 1/2 × 1/2 = 1/4.
Résultat : P(pile puis pile) = 1/4 = 0,25.
On sait que P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 et P(A et B) = 0,2. Calcule P(A ou B).
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
J'écris la formule de l'union. La soustraction évite de compter deux fois les issues communes à A et B.
0,5 + 0,3 - 0,2 = 0,6
Je remplace par les valeurs et je calcule : 0,8 moins 0,2 égale 0,6.
Résultat : P(A ou B) = 0,6.