À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu répètes 4 fois la même expérience à deux issues (succès ou échec), de façon identique et indépendante : c'est un schéma de Bernoulli. Tu sais déjà qu'un arbre permet de calculer les probabilités. Mais avec 4 répétitions, l'arbre a déjà 16 chemins... et avec 10 répétitions, 1024 ! Il nous faut un raccourci pour compter les chemins sans les dessiner.
Ce raccourci, c'est le coefficient binomial, noté C(n, k) et lu 'k parmi n'. Il compte le nombre de chemins de l'arbre qui contiennent exactement k succès parmi n répétitions. Par exemple, C(4, 2) = 6 : il y a 6 façons de placer 2 succès dans une suite de 4 essais (SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS).
Pour trouver ces coefficients sans formule savante, utilise le triangle de Pascal : chaque ligne commence et finit par 1, et chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres juste au-dessus. La ligne n = 4 se lit : 1, 4, 6, 4, 1. Remarque la symétrie : C(n, k) = C(n, n - k), car choisir les k succès revient à choisir les n - k échecs.
On assemble tout dans la formule de la loi binomiale. Si X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, alors P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k). La logique : chaque chemin à k succès a la probabilité p^k × (1 - p)^(n - k), et il y a C(n, k) chemins de ce type.
Réflexe de vérification : un coefficient binomial est un nombre ENTIER (on compte des chemins), et une probabilité reste toujours entre 0 et 1. L'oubli le plus fréquent ? Le coefficient : sans lui, tu ne comptes qu'un seul chemin au lieu de tous.