À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Certaines expériences n'ont que deux issues : succès ou échec. Lancer une pièce et viser pile, tirer une carte et espérer un coeur, tenter un panier. Une telle expérience s'appelle une épreuve de Bernoulli, avec une probabilité de succès notée p et une probabilité d'échec 1 - p.
Maintenant, répète cette épreuve n fois, de façon indépendante et toujours dans les mêmes conditions, et compte le nombre de succès obtenus. Ce nombre, appelons-le X, suit ce qu'on appelle la loi binomiale de paramètres n et p. Toute la question devient : quelle est la probabilité d'obtenir exactement k succès ?
L'arbre donne la réponse. Chaque chemin comportant k succès et n - k échecs a pour probabilité p puissance k fois (1 - p) puissance (n - k) : on multiplie le long du chemin. Mais plusieurs chemins donnent le même nombre de succès ! Pour 1 succès en 2 lancers : succès-échec et échec-succès, deux chemins. Il faut donc MULTIPLIER la probabilité d'un chemin par le nombre de chemins.
D'où la formule : P(X = k) = (nombre de chemins à k succès) × p puissance k × (1 - p) puissance (n - k). Ce nombre de chemins se note « k parmi n » : c'est le coefficient binomial. Pour de petites valeurs, l'arbre suffit à le compter : 2 parmi 3 vaut 3, 2 parmi 4 vaut 6.
Dernier trésor : l'espérance. En moyenne, sur n épreuves, on obtient n × p succès. Vingt tirs avec 30 % de réussite ? Attends-toi à environ 20 × 0,3 = 6 paniers. Simple, puissant, et tu vas voir que ça marche.