À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Une information peut changer une probabilité. Quelle est la probabilité qu'une personne aime le thé ? Et si je te dis d'abord que cette personne en boit tous les matins ? Ton estimation bouge : tu viens de faire une probabilité conditionnelle sans le savoir.
La probabilité de A sachant B, notée P indice B de A, est la probabilité que A se réalise quand on SAIT que B est réalisé. L'idée clé : l'information « B est réalisé » rétrécit l'univers. On ne raisonne plus sur tous les cas possibles, mais seulement sur les cas où B se produit. La formule traduit exactement cela : P sachant B de A = P(A et B) divisé par P(B).
Dans un tableau croisé d'effectifs, c'est très concret : pour calculer P(A sachant B), tu te places dans la ligne (ou la colonne) de B, et tu divises l'effectif de « A et B » par le total de cette ligne. Le dénominateur n'est plus le grand total : c'est ça, le rétrécissement de l'univers.
Sur un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles vivent sur les branches de deuxième niveau. La règle du chemin devient : P(A et B) = P(A) × P sachant A de B. Et en additionnant tous les chemins qui mènent à un même événement, tu obtiens sa probabilité totale.
Gare à la confusion la plus répandue : P(A sachant B) et P(B sachant A) sont en général DIFFÉRENTES. La probabilité d'être un chat sachant qu'on est noir n'est pas celle d'être noir sachant qu'on est un chat. Ce cours va t'entraîner à repérer qui est la condition, et à ne plus jamais inverser.
Sur 100 personnes interrogées, 40 font du sport, et parmi ces 40 sportifs, 30 écoutent de la musique en s'entraînant. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle écoute de la musique sachant qu'elle fait du sport ?
- 1
univers restreint : 40 sportifs
L'information « fait du sport » rétrécit l'univers : je ne regarde plus que les 40 sportifs, les 60 autres ne comptent plus.
- 2
cas favorables : 30
Parmi ces 40 personnes, 30 écoutent de la musique.
- 3
30/40 = 0,75
Je divise l'effectif favorable par le total du groupe restreint : 30 sur 40, soit 0,75.
Résultat : P(musique sachant sport) = 0,75.
On donne P(B) = 0,5 et P(A et B) = 0,2. Calcule la probabilité de A sachant B.
- 1
P(A sachant B) = P(A et B) / P(B)
J'écris la formule : je divise la probabilité de l'intersection par celle de la condition B.
- 2
0,2 / 0,5 = 0,4
0,2 divisé par 0,5, c'est comme 2 divisé par 5 : 0,4.
Résultat : P(A sachant B) = 0,4.