À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Sur une fête foraine, un stand propose une roue : certains secteurs font gagner 5 euros, d'autres 1 euro, d'autres rien. Le hasard décide du secteur, mais toi, ce qui t'intéresse, c'est le NOMBRE gagné. Une variable aléatoire, c'est exactement cela : une machine qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. On la note souvent X.
Pour décrire complètement X, on dresse le tableau de sa loi de probabilité : sur la première ligne, toutes les valeurs possibles de X ; sur la seconde, la probabilité de chacune. Vérification obligatoire : la somme des probabilités doit faire exactement 1. Si ce n'est pas le cas, une valeur a été oubliée ou un calcul est faux.
Vient alors la question à mille euros : combien gagne-t-on EN MOYENNE ? C'est l'espérance de X, notée E(X). Formule : on multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne tout. E(X) = x1 × p1 + x2 × p2 + etc. C'est une moyenne pondérée : les valeurs très probables pèsent lourd, les valeurs rares pèsent peu.
Attention à l'interprétation, c'est là que tout le monde trébuche : l'espérance ne prédit PAS le résultat d'une partie. Elle dit ce que devient le gain moyen par partie quand on joue un très grand nombre de fois. Une espérance de 1,5 euro ne garantit rien sur la prochaine partie, mais sur mille parties, ton gain moyen s'en approchera.
L'espérance permet de juger un jeu : si X représente le gain net (gains moins mise), alors E(X) > 0 signifie un jeu favorable au joueur, E(X) < 0 un jeu défavorable, et E(X) = 0 un jeu équitable. Devine dans quelle catégorie tombent les loteries réelles... À toi de le vérifier par le calcul !