Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Un jean augmente de 25 %, puis le magasin annonce « retour au prix initial ». Quelle remise doit-il afficher ? Si tu as répondu 25 %, ce cours est fait pour toi : la bonne réponse est 20 % ! Les évolutions en pourcentage ne s'annulent pas en changeant simplement de signe, et c'est tout l'objet de ce chapitre.
Le bon outil, tu le connais déjà : le coefficient multiplicateur (CM). Une hausse de 25 % multiplie par 1,25. Pour revenir au point de départ, il faut multiplier par le coefficient réciproque, c'est-à-dire l'inverse : 1/1,25 = 0,8. Et 0,8 correspond à une baisse de 20 %. Voilà pourquoi hausse et baisse ne sont pas symétriques : le pourcentage de retour se calcule sur la NOUVELLE valeur, qui est plus grande.
Deuxième idée forte : le taux d'évolution moyen. Si une valeur augmente de 44 % en deux ans, elle n'a pas augmenté de 22 % par an ! Les évolutions se composent par multiplication, pas par addition. On cherche donc le coefficient c qui, appliqué deux fois, donne l'évolution globale : c × c = 1,44, donc c = 1,2, soit un taux moyen de 20 % par an. Pour n périodes, on cherche c tel que c puissance n égale le coefficient global.
Retiens la démarche en trois temps : traduire chaque évolution en coefficient, manipuler les coefficients (inverse pour la réciproque, racine pour le taux moyen), puis retraduire en pourcentage. Avec ce réflexe, plus aucune annonce commerciale ni statistique ne pourra te piéger.
Un article augmente de 25 %. Quel pourcentage de baisse ramène exactement à son prix initial ?
CM = 1 + 25/100 = 1,25
Je traduis la hausse de 25 % en coefficient multiplicateur.
CM réciproque = 1/1,25 = 0,8
Pour annuler l'évolution, je prends l'inverse du coefficient.
0,8 = 1 - 20/100
Je retraduis : multiplier par 0,8, c'est baisser de 20 %. Vérification : 100 € donne 125 €, et 125 × 0,8 = 100 €.
Résultat : Il faut une baisse de 20 % (et non de 25 %).
En deux ans, un abonnement a augmenté de 44 % au total. Quel est le taux d'évolution moyen annuel ?
CM global = 1,44
Je traduis la hausse globale de 44 % en coefficient.
c × c = 1,44
Le taux moyen est celui qui, appliqué deux fois, produit l'évolution globale.
c = √1,44 = 1,2
Je prends la racine carrée : 1,2 × 1,2 = 1,44, c'est bien cela.
1,2 = 1 + 20/100
Coefficient 1,2, donc taux moyen de 20 % par an. Remarque : 22 % par an aurait donné 1,22 × 1,22 = 1,4884, trop !
Résultat : Le taux moyen est de 20 % par an.