À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu connais déjà le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il te permet de calculer une longueur quand tu sais que l'angle droit est là. Mais retourne la question : et si tu ne connais que les trois longueurs ? Peux-tu prouver que le triangle est rectangle, sans équerre, sans mesure d'angle ? Oui, grâce à la réciproque.
La réciproque du théorème de Pythagore dit ceci : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Et l'angle droit se trouve en face du plus grand côté. C'est un outil de preuve : les nombres seuls suffisent à garantir l'angle droit, aucune vérification à l'œil n'est nécessaire.
Cette idée est très ancienne et très concrète : les bâtisseurs égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds formant 12 intervalles égaux. En la tendant en triangle de côtés 3, 4 et 5, ils obtenaient un angle parfaitement droit pour leurs fondations. Pourquoi ? Parce que 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². La corde prouvait l'angle droit, exactement comme la réciproque.
La méthode tient en trois gestes : repère le plus grand côté, calcule séparément son carré puis la somme des carrés des deux autres, et compare. Égalité ? Triangle rectangle. Pas d'égalité ? Pas rectangle, et le théorème te le prouve aussi. Attention à ne jamais confondre le sens direct (je sais que c'est rectangle, je calcule) et la réciproque (je calcule pour prouver que c'est rectangle). C'est justement ce qu'on va travailler.