À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
On raconte que Thalès a mesuré la hauteur de la grande pyramide d'Égypte avec... son ombre ! Son idée de génie : quand le soleil éclaire, un bâton et la pyramide forment deux triangles de même forme, l'un petit, l'autre géant. Même forme veut dire côtés proportionnels : c'est tout l'esprit du théorème de Thalès.
Voici la situation classique. Dans un triangle ABC, on place un point M sur le côté [AB] et un point N sur le côté [AC]. Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC. Toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur, et on obtient l'égalité des trois rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Comment s'en servir ? Tu écris les rapports, tu repères celui qui est complet (les deux longueurs connues) et celui qui contient l'inconnue, puis tu résous avec un produit en croix. Un conseil qui sauve : place toujours les longueurs du PETIT triangle en haut et celles du GRAND en bas. Mélanger les étages est l'erreur la plus fréquente !
Attention à la condition d'entrée : sans droites parallèles, pas de Thalès ! C'est le parallélisme de (MN) et (BC) qui garantit que les deux triangles ont la même forme. Le théorème existe aussi en configuration papillon, quand les droites se croisent en un point entre les deux parallèles : les rapports s'écrivent alors depuis le point de croisement.