Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu sais déjà lire un vecteur comme un déplacement : avancer de x en abscisse et de y en ordonnée. Regarde maintenant deux flèches sur un quadrillage : u(2 ; 3) et v(4 ; 6). La deuxième avance exactement deux fois plus loin dans la même direction : v = 2u. Quand un vecteur est le produit de l'autre par un nombre, on dit qu'ils sont colinéaires : leurs flèches sont parallèles, elles suivent la même direction.
Chercher ce nombre à l'œil n'est pas toujours facile, surtout avec des signes ou des décimaux. Heureusement, il existe un test infaillible : les vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si xy' − yx' = 0. Ce nombre s'appelle le déterminant de u et v. Il croise les coordonnées en X : la première coordonnée de l'un multiplie la seconde de l'autre, et on soustrait.
À quoi ça sert ? D'abord à repérer des droites parallèles : deux droites dirigées par des vecteurs colinéaires sont parallèles. Ensuite, et c'est le plus beau, à prouver que trois points A, B, C sont alignés : il suffit de montrer que les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Comme ils partent tous les deux de A, s'ils pointent dans la même direction, les trois points sont forcément sur la même droite.
Visualise bien la méthode sur le quadrillage : je calcule les coordonnées de AB et AC (arrivée moins départ), je croise avec le déterminant, et je conclus. Zéro : alignés. Pas zéro : pas alignés. Un seul calcul remplace tout un dessin, c'est toute la puissance de la géométrie par les coordonnées. À toi de jouer !
Les vecteurs u(2 ; 3) et v(4 ; 6) sont-ils colinéaires ?
xy' − yx' = 2 × 6 − 3 × 4
J'applique le test de colinéarité : je croise les coordonnées en X, produit de la première par la deuxième de l'autre, puis je soustrais.
12 − 12 = 0
Le déterminant vaut 0 : les vecteurs sont colinéaires. Je peux même voir le coefficient : v = 2u, la flèche v est deux fois plus longue dans la même direction.
Résultat : 2 × 6 − 3 × 4 = 0 : u et v sont colinéaires (v = 2u).
Les points A(1 ; 2), B(3 ; 5) et C(7 ; 11) sont-ils alignés ?
AB(2 ; 3)
Je calcule le vecteur AB : (3 − 1 ; 5 − 2) = (2 ; 3).
AC(6 ; 9)
Puis le vecteur AC : (7 − 1 ; 11 − 2) = (6 ; 9). Les deux vecteurs partent du même point A.
2 × 9 − 3 × 6 = 18 − 18 = 0
Je teste la colinéarité avec le déterminant : il vaut 0, donc AB et AC sont colinéaires.
A, B, C alignés
AB et AC sont colinéaires et partent tous deux de A : les trois points sont donc sur la même droite. D'ailleurs AC = 3AB.
Résultat : Le déterminant de AB et AC vaut 0 : A, B et C sont alignés.