Niveau 5 · Seconde
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu te souviens de la translation, ce glissement qui déplace toute une figure d'un même mouvement ? Le vecteur est justement l'objet mathématique qui code ce mouvement. Imagine une flèche : elle a une direction (la droite qu'elle suit), un sens (vers où elle pointe) et une norme (sa longueur). Voilà un vecteur !
Point important : un vecteur n'a pas de position. La flèche qui va de A vers B et celle qui va de C vers D représentent le MÊME vecteur si elles ont même direction, même sens et même longueur. Un vecteur, c'est un déplacement pur : 3 vers la droite et 2 vers le haut, peu importe d'où l'on part.
Dans un repère, tout devient calculable. Le vecteur AB qui va de A(xA, yA) vers B(xB, yB) a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA) : arrivée moins départ, toujours dans cet ordre ! Ses coordonnées disent exactement de combien on se déplace horizontalement et verticalement.
Deux formules à connaître sur le bout des doigts. Le milieu d'un segment [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées : ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2). Et la norme d'un vecteur de coordonnées (x, y) se calcule avec Pythagore : c'est la racine carrée de x² + y², car le déplacement horizontal et le déplacement vertical forment un triangle rectangle.
Pour additionner deux vecteurs, on enchaîne les déplacements : on additionne simplement les coordonnées. Les vecteurs sont l'outil parfait pour décrire des trajets, des forces ou des vitesses : ils te suivront longtemps !
Dans un repère, A(1, 2) et B(4, 7). Calcule les coordonnées du vecteur AB.
x = xB - xA = 4 - 1 = 3
Arrivée moins départ pour les abscisses : de 1 à 4, je me déplace de 3 vers la droite.
y = yB - yA = 7 - 2 = 5
Même chose pour les ordonnées : de 2 à 7, je monte de 5. Le vecteur AB code le déplacement (3 ; 5).
Résultat : AB a pour coordonnées (3 ; 5).
A(2, 4) et B(6, 10). Calcule les coordonnées du milieu M de [AB].
xM = (2 + 6) / 2 = 4
Le milieu est à mi-chemin : je prends la moyenne des abscisses, (2 + 6) divisé par 2.
yM = (4 + 10) / 2 = 7
Puis la moyenne des ordonnées : (4 + 10) divisé par 2 égale 7. Le milieu est en (4 ; 7).
Résultat : M(4 ; 7).