Équations de droites et de cercles

Une équation de courbe, c'est un test d'appartenance : un point (x ; y) est sur la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation. Ce point de vue transforme la géométrie en calcul, et c'est une des idées les plus puissantes des mathématiques.

Pour les droites, tu connais la forme y = mx + p. Il existe aussi la forme cartésienne ax + by + c = 0, plus générale car elle décrit aussi les droites verticales. Pour retrouver la pente d'une droite donnée sous cette forme (avec b non nul), isole y : le coefficient de x qui apparaît alors est le coefficient directeur.

Pour les cercles, tout part de la définition : le cercle de centre C(a ; b) et de rayon r est l'ensemble des points situés à la distance r de C. Avec la formule de la distance (Pythagore !), cela donne l'équation (x - a)² + (y - b)² = r². Attention aux signes : (x - 2)² correspond à un centre d'abscisse +2, et le membre de droite est r², pas r !

Parfois le cercle se déguise sous une forme développée, comme x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. Pour le démasquer, on complète les carrés : on regroupe les x ensemble, les y ensemble, et on fait apparaître (x - a)² et (y - b)². Le centre et le rayon se lisent alors directement.

Avec ces équations, tu sais tester si un point est sur un cercle, dedans ou dehors : compare sa distance au centre avec le rayon. Un vrai GPS géométrique !