Niveau 6 · Première
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Tu sais additionner des vecteurs. Mais peut-on les multiplier ? Oui, et le résultat est surprenant : le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un vecteur mais un simple nombre (un scalaire). Ce nombre encode une information précieuse : à quel point les deux vecteurs pointent dans la même direction.
Deux formules pour le calculer, à choisir selon les données. Avec les coordonnées, dans un repère orthonormé : si u a pour coordonnées (x ; y) et v pour coordonnées (x' ; y'), alors u · v = xx' + yy'. Simple : produit des abscisses plus produit des ordonnées. Avec les normes et l'angle : u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), où θ est l'angle entre les deux vecteurs.
Le signe du produit scalaire raconte une histoire. Positif ? L'angle est aigu, les vecteurs vont globalement dans le même sens. Négatif ? L'angle est obtus, ils tirent plutôt en sens contraires. Nul ? C'est le cas le plus célèbre : les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Le test u · v = 0 est LA méthode reine pour prouver un angle droit dans un repère.
D'où vient ce cos(θ) ? Pense à une force qui tire un chariot : seule la partie de la force alignée avec le déplacement travaille vraiment. Le produit scalaire mesure exactement cette efficacité : c'est pour cela que les physiciens l'adorent.
Au programme : calculs avec les deux formules, test d'orthogonalité, et recherche d'une coordonnée inconnue pour rendre deux vecteurs perpendiculaires.
Dans un repère orthonormé, u(2 ; 3) et v(4 ; -1). Calcule u · v.
u · v = xx' + yy'
J'ai les coordonnées : j'utilise la formule produit des abscisses plus produit des ordonnées.
2 × 4 + 3 × (-1) = 8 - 3
Je calcule chaque produit : 2 fois 4 égale 8, et 3 fois -1 égale -3. Attention au signe du deuxième produit !
u · v = 5
La somme donne 5. Positif : l'angle entre u et v est aigu, les vecteurs pointent grossièrement du même côté.
Résultat : u · v = 5.
||u|| = 3, ||v|| = 4 et l'angle entre u et v mesure 60°. Calcule u · v.
u · v = ||u|| × ||v|| × cos(60°)
Pas de coordonnées ici, mais les normes et l'angle : j'utilise la formule avec le cosinus.
3 × 4 × 0,5 = 6
cos(60°) = 0,5, donc u · v = 3 × 4 × 0,5 = 6. Positif, logique pour un angle aigu de 60°.
Résultat : u · v = 6.