Niveau 7 · Terminale
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Quitte la feuille de papier : bienvenue dans l'espace ! Pour repérer un point, deux nombres ne suffisent plus, il en faut trois : l'abscisse x, l'ordonnée y et la cote z (la hauteur). Un point s'écrit A(x ; y ; z), et presque tout ce que tu sais du plan se prolonge naturellement : le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA ; yB - yA ; zB - zA), toujours arrivée moins départ, et le produit scalaire devient xx' + yy' + zz'.
Dans l'espace, une droite est toujours définie par un point et un vecteur directeur, comme dans le plan. La nouveauté, c'est le plan : une surface plate infinie, comme une table sans bords. Un plan peut être décrit par une équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. Le trio (a ; b ; c) n'est pas décoratif : c'est un vecteur normal au plan, c'est à dire perpendiculaire à toutes les droites du plan.
Ce vecteur normal est la clé de presque tout : deux plans sont parallèles quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; une droite est parallèle à un plan quand son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal (produit scalaire nul) ; une droite est perpendiculaire au plan quand son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal.
Dernière surprise de l'espace : deux droites peuvent n'être ni sécantes ni parallèles ! Pense à une autoroute et au pont qui la survole : elles ne se croisent jamais, sans être parallèles. On dit qu'elles sont non coplanaires. Dans l'espace, vérifie toujours si tes objets vivent dans un même plan avant de raisonner comme sur ta feuille.
Dans l'espace, A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; 4 ; 3). Calcule les coordonnées du vecteur AB.
x = 3 - 1 = 2
Arrivée moins départ pour chaque coordonnée, exactement comme dans le plan. D'abord les abscisses.
y = 4 - 0 = 4
Puis les ordonnées : 4 moins 0.
z = 3 - 2 = 1
Et la nouveauté de l'espace : la cote. 3 moins 2 égale 1. Trois coordonnées pour un vecteur de l'espace.
Résultat : AB(2 ; 4 ; 1).
Le plan P a pour équation 2x - y + z = 5. Le point A(1 ; -1 ; 2) appartient-il à P ?
2(1) - (-1) + 2
Je remplace x, y, z par les coordonnées de A dans le membre de gauche. Attention au double signe : moins (-1) donne +1.
2 + 1 + 2 = 5
Le calcul donne 5, exactement le membre de droite. L'équation est vérifiée : A est dans le plan. Au passage, je lis le vecteur normal du plan dans les coefficients : n(2 ; -1 ; 1).
Résultat : Oui, A appartient au plan P.