Niveau 4 · 4e – 3e
À relire à tout moment, y compris pendant les exercices.
Après les longueurs (1 dimension) et les aires (2 dimensions), voici les volumes : la place qu'un solide occupe dans l'espace, en 3 dimensions. L'unité de base est le mètre cube (m³), et pour les petits objets le centimètre cube (cm³) : un petit cube de 1 cm de côté.
Le pavé droit (une boîte à chaussures) est le plus simple : on empile des couches de petits cubes. Volume du pavé = longueur × largeur × hauteur. Le cube, avec ses arêtes toutes égales, donne V = arête × arête × arête.
Le cylindre (une boîte de conserve) suit la même logique d'empilement : on prend l'aire du disque de base, π × r², et on la multiplie par la hauteur. V = π × r² × h.
Le cône (un cornet de glace) réserve une surprise : il tient exactement 3 fois dans le cylindre de même base et de même hauteur. D'où V = (π × r² × h) ÷ 3. Et la boule de rayon r a pour volume V = (4 ÷ 3) × π × r³. Remarque le r au cube : le rayon agit dans les 3 dimensions !
Dernière connexion utile : les volumes parlent aussi le langage des liquides. 1 L = 1000 cm³ = 1 dm³, et 1 m³ = 1000 L. De quoi savoir combien d'eau tient dans un aquarium !
Calcule le volume d'un pavé droit de 5 cm de long, 3 cm de large et 4 cm de haut.
couche : 5 × 3 = 15
Une couche de petits cubes au fond de la boîte : 5 × 3 = 15 cubes de 1 cm³.
4 couches : 15 × 4 = 60
La hauteur est 4 cm : j'empile 4 couches identiques, donc 15 × 4 = 60 cubes.
V = L × l × h = 60
C'est exactement la formule : longueur × largeur × hauteur.
Résultat : Le volume vaut 60 cm³.
Calcule le volume d'un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm (π ≈ 3,14).
base : 3,14 × 5² = 78,5
Je calcule l'aire du disque de base : 3,14 × 25 = 78,5 cm².
V = 78,5 × 10 = 785
J'empile cette base sur 10 cm de hauteur : 78,5 × 10 = 785.
Résultat : Le volume vaut environ 785 cm³.